Splines (9ª y última parte)

Las dos entregas anteriores de esta serie estuvieron dedicadas al estudio del comando EDITSPLINE (SPLINEDIT), donde analizamos las opciones que afectan a la curva de forma global y también la que permite operar sobre los puntos de ajuste. El objeto de esta novena y última entrega será, por tanto, la opción Editar vértices (Edit vertex), que es la única que tenemos pendiente. Como puede deducirse por su nombre, se trata de una opción que permite actuar sobre los vértices del polígono de control mediante operaciones relativamente sencillas, como la adición, supresión o desplazamiento de los vértices, y otras un poco más difíciles de entender, como la elevación del orden de la curva o la modificación del peso, que además tienen una notable importancia desde el punto de vista del diseño.

Finalmente, con objeto de poner en práctica algunos de los conceptos que hemos visto a lo largo de la serie, explicaremos un método sencillo para dibujar una hipérbola con total exactitud, que se basa en una adecuada combinación de los comandos SPLINE y EDITSPLINE (SPLINEDIT) y requiere el concurso de la calculadora rápida.


La opción Editar vértices (Edit vertex)

Esta opción permite incrementar o reducir el número de vértices del polígono de control y modificar el peso de cada uno de ellos para controlar su grado de influencia sobre la forma de la curva. Antes de entrar en los detalles, conviene recordar algunas propiedades de las curvas splines para apreciar en su justa medida las posibilidades que ofrece la opción Editar vértices (Edit vertex) desde el punto de vista del diseño.

Recordemos, en primer lugar, que el orden de la curva determina el número de vértices del polígono de control que intervienen en el cálculo de cada tramo y también el grado de la ecuación utilizada. Así, por ejemplo, puesto que todas las curvas que se dibujan indicando sus puntos de paso (Método=Ajustar) son de cuarto orden, serán cuatro los vértices consecutivos del polígono de control que intervendrán en el cálculo de cada tramo y las ecuaciones utilizadas serán de tercer grado (cúbicas).

La segunda cuestión importante que debemos recordar es la propiedad de control local que poseen las curvas splines, en virtud de la cual la modificación de un vértice del polígono de control sólo afecta a los tramos de la curva en los que interviene dicho vértice, manteniéndose intactos los restantes tramos. A los efectos del diseño, esta propiedad tiene una consecuencia inmediata: para una misma curva, cuanto mayor sea el número de vértices del polígono de control, mayor será el número de tramos de que estará compuesta y, por lo tanto, la zona de influencia de cada vértice será más pequeña.

De acuerdo con lo dicho, la posibilidad de modificar el número de vértices del polígono de control y de ajustar el peso de cada uno de ellos son herramientas esenciales para conseguir que las curvas splines cumplan los requerimientos de diseño. Estas herramientas son, precisamente, las que proporciona la opción Editar vértices (Edit vertex), la cual muestra automáticamente el polígono de control de la curva, junto con un mensaje de solicitud donde ofrece un total de siete opciones:

Indique una opción de edición de vértices [Añadir/sUprimir/Elevar orden/
añadir PUnto de desviación/Desplazar/Peso/Salir] <Salir>:

La opción Salir (eXit), que siempre es la que se propone por defecto, abandona la edición de los vértices del polígono de control y regresa al mensaje principal de solicitud del comando EDITSPLINE (SPLINEDIT)

Las opciones Añadir (Add), sUprimir (Delete), añadir PUnto de desviación (add Kink) y Desplazar (Move) son respectivamente idénticas a las opciones Añadir vértice, Eliminar vértice, Precisar vértices y Estirar vértice, que están disponibles en el menú dinámico de los pinzamientos de los vértices del polígono de control y que ya quedaron explicadas en la sexta entrega de esta serie, por lo que no insistiremos más sobre ellas.

La opción Elevar orden (Elevate order) permite incrementar el orden de la curva, hasta un valor máximo de 26, sin modificar su forma original, lo que hace necesario recalcular por completo el polígono de control de acuerdo con el nuevo orden precisado.

El vídeo siguiente muestra la representación de una spline cúbica (de cuarto orden) y su transformación posterior en una curva de orden 6, donde puede observarse cómo se incrementa notablemente el número de vértices del polígono de control pero no se modifica en absoluto su forma original.

La opción Peso (Weight) permite ajustar con precisión el grado de influencia en la forma de la curva de cada uno de los vértices del polígono de control. Recuerde que el comando SPLINE asigna un peso de 1 a todos los vértices, por lo que las curvas resultantes son splines no racionales. Cuando uno solo de los vértices tiene un peso diferente, la curva pasa a ser racional (NURBS). Por este motivo, la primera vez que se aplica la opción Peso (Weight), AutoCAD advierte de la conversión antes de solicitar el nuevo valor del peso:

Spline no racional. Se va a convertir.
Indique nuevo peso (actual = 1.00) o [siGuiente/Previo/Designar punto/Salir] <G>:

Los vértices de la curva pueden recorrerse secuencialmente mediante las opciones siGuiente (Next) y Previo (Previous) o puede indicarse directamente el vértice sobre el que operar utilizando la opción Designar punto (Select point). El nuevo valor del peso debe ser positivo y diferente de cero. Al aumentar o reducir el peso de un vértice del polígono de control, se consigue un acercamiento o un alejamiento, respectivamente, de la curva a dicho vértice.

Así, por ejemplo, en splines cuadráticas de tres vértices, cuando el peso de los vértices extremos es 1, el peso del vértice intermedio determina el tipo de cónica resultante (arco elíptico, parábola o hipérbola), tal y como muestra la figura siguiente.

Para completar nuestro estudio sobre la edición de curvas splines, vamos a hacer un ejemplo práctico resolviendo con exactitud un problema geométrico que, por lo general, no se aborda con el debido rigor técnico. Se trata de la representación de una rama de una hipérbola cuando se conoce su vértice, dos tangentes simétricas respecto del eje real de la curva y sus respectivos puntos de tangencia.

AutoCAD no tiene un comando específico para dibujar hipérbolas, pero una adecuada combinación de algunos de los conceptos que hemos estudiado permite construir fácilmente una verdadera hipérbola a partir de los datos citados.

La figura siguiente muestra los datos de partida necesarios para obtener la hipérbola:

• Un segmento horizontal que representa el eje real de la curva.
• Dos segmentos rectos simétricos respecto del eje. Los extremos T1 y T2 serán los puntos de tangencia con la curva. En virtud de la simetría, el vértice común, R, de los segmentos estará necesariamente sobre el eje real de la curva.
• Un segmento vertical que une los puntos T1 y T2 y corta al eje en el punto Q.
• Un punto, P, que representa el vértice de la hipérbola. Para que la curva resultante sea una hipérbola, la distancia entre los puntos P y Q debe ser mayor que la distancia entre P y R. Si la distancia fuera igual se obtendría una parábola, y si fuera menor un arco elíptico.
  
  

Una vez que tenga representados todos los datos de partida, siga los pasos que se indican a continuación para construir la hipérbola:

1. Inicie el comando SPLINE, seleccione la opción Método (Method) y la subopción VC (CV). De este modo, la curva se dibujará a partir de su polígono de control. A continuación seleccione la opción Grado (Degree) y precise el valor 2 para el grado de la spline (ecuación de segundo grado). Una vez hechos estos ajustes iniciales, ya sólo queda precisar los tres vértices del polígono de control: primero uno de los puntos de tangencia (T1, por ejemplo), después el punto R de intersección de las tangentes y finalmente el otro punto de tangencia.
   
   La figura siguiente muestra el estado del dibujo después de haber efectuado esta primera operación.
   
   
2. Inicie el comando EDITSPLINE (SPLINEDIT) y designe la curva. Después, seleccione la opción Editar vértices (Edit vertex) y, a continuación, la opción Peso (Weight). AutoCAD resaltará el primer vértice de la curva y solicitará el valor del peso. Seleccione la opción siGuiente (Next) para pasar al segundo vértice.
3. El valor del peso del segundo vértice es el cociente de las distancias PQ y PR. Con objeto de obtener el valor del cociente con la máxima precisión haremos uso de la calculadora rápida. Así pues, como respuesta a la solicitud del peso, pulse la combinación de teclas Ctrl+8 para abrir la calculadora. Haga clic en el icono Distancia entre dos puntos (en la parte superior de la calculadora) y señale los puntos P y Q. El área de entrada de la calculadora mostrará la distancia entre ambos puntos.
4. Haga clic en el botón de división de la calculadora y, a continuación, haga clic nuevamente en el icono Distancia entre dos puntos. Esta vez, señale los puntos P y R. Después de precisar ambos puntos, asegúrese de que el área de entrada de la calculadora contiene las dos distancias medidas separadas por el signo de división. Haga clic en el botón Aplicar para cerrar la calculadora y transferir el resultado como respuesta a la solicitud del peso. Pulse Intro y, finalmente, seleccione tres veces consecutivas la opción Salir (eXit) para terminar la operación.

El resultado será una rama de una verdadera hipérbola trazada con total precisión. Observe cómo la curva pasa exactamente por el punto P, que es su vértice.

El siguiente vídeo muestra la secuencia completa de trazado de la hipérbola.

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